Ótimas monografias

 Quero parabenizar as minhas queridas alunas do 1º ano pelo empenho e maravilhoso trabalho realizado nas monografias desde ano.

Agradeço-lhes por terem me escolhido como orientador e por terem feito ótimos trabalhos!

Lembrem-se sempre:

Tudo que fizermos com garra e determinação será um sucesso!!!

PARABÉNS!!!

Logaritmo Natural ou Neperiano

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... (chamado Número de Euler). É, portanto, a função inversa da função exponencial.

Esse logaritmo é definido para todos os números reais estritamente positivos x, e admite uma extensão como uma função complexa analítica.
Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.
Apesar do logaritmo natural ser usualmente chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), este utilizou a base 1/e e não a base e.

Os indivisíveis

Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, mais precisamente na cidade de Milão em 1598. Foi aluno de Galileu e professor de matemática na Universidade de Bolonha de 1629 até a sua morte no ano de 1647. Em seu legado, diversas obras contemplando matemática, óptica e astronomia nos foram deixadas. Foi um dos responsáveis pela divulgação dos logaritmos na Europa, tornando-o um matemático muito influente. Sua obra mais expressiva e de grande contribuição à matemática é o tratado Geometria Indivisibilibus, no qual ele apresenta seu método dos indivisíveis, sob orientação do seu mestre Galileu Galilei.


Em seu método, Cavalieri afirma que um indivisível de uma figura plana é um segmento de reta contido nessa figura e que um indivisível de um sólido qualquer é a secção desse sólido.

O que Cavalieri quiz dizer é que do mesmo jeito que infintos pontos (adimenssionais) alinhados formam uma  reta, infinitos segmentos de reta (unidimensionais) paralelos formam uma figura plana e infinitas figuras planas (bidimensionais) sobrepostas formam um sólido. E, com isso, pode-se calcular o volume de um prisma muliplicando-se a área do polígono da base pela altura de tal prisma.

A geometria do tangram

Na figuram do Tangram, tem-se que: 
               

-ABCD é um quadrado de lado l;     

                                                  

ABE e ADE são dois triângulos congruentes e isósceles, cujos lados côngruos (AE, BE, ED) medem metade de AC;  

                             

EFH e DIJ são dois triângulos congruentes e isósceles, cujos lados côngruos (EH; EF, IJ, DJ) medem metade de AE e o lado não côngruo (DI) mede metade de l.  

                                                                  

CIG é um triângulo isósceles, cujos lados côngruos (CI, CG) medem metade de l e o lado não côngruo (GI) mede metade de AC;  

         

EHIJ é um quadrado cujo lado mede metade de GI;  

                     

FBGH é um paralelogramo.   

                                                               

E é o centro de ABCD.  

                                                                     

Há muito mais geometria no tangram, mas com essas informações acima já se consegue resolver os problemas que aparecem nos vestibulares.

A origem do Tangram

Não se conhece ao certo a origem do tangram. Nem a data de criação, nem o seu autor. O tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa, praticado há muitos séculos em todo o Oriente. Segundo a lenda, o jogo surgiu quando um monge chinês deixou cair uma porcelana quadrada, que se partiu em sete pedaços – daí seu nome, que significa “ tábua das sete sabedorias” ou “tábua das sete sutilezas” . A origem é de um painel em madeira, de 1780 de Utamaro com a figura de duas senhoras chinesas a resolver um tangram. A mais antiga publicação com exercícios de tangram é do inicio do século XIX. Seu nome original: Tch´ i Tch´ iao Pan , significa as sete tábuas da argúcia.

Férias!!!

Estou de férias!!!

Até agosto.

Belas Monografias

Quero parabenizar meus dois grupos de Monografia, pelas ótimas apresentações realizadas. E, também quero registrar o imenso prazer que foi ser o orientador de alunos tão formidáveis.

Quantos quilos vocês tem?

Quilo (símbolo: k; de kilo) é um prefixo do Sistema Internacional de Unidades que indica que a unidade padrão foi multiplicada por mil.
O fato é que cada vez mais as pessoa utilizam o prefixo quilo para se referir à unidade de medida de massa quilograma. O que é, no mínimo estranho!
O quilograma (símbolo: kg) é uma unidade de medida de massa do Sistema Internacional de Unidades (SI).

E é a massa equivalente a um padrão composto por irídio e platina que está localizado no Escritório Internacional de Pesos e Medidas na cidade de Sèvres, França desde 1889. Ele é um cilindro equilátero de 39 mm de altura por 39 mm de diâmetro.
Com isso, a simples pergunta que intitula esse artigo: Quantos quilos você tem? passa a ser algo sem uma resposta certa. Afinal de contas, quilos de quê?
quilocalorias? quilômetros? quilogramas?quilobyte? que aliás, é uma exceção, pois um quilobyte corresponde a 1024 bytes.
Bom, se depender do jeito que as pessoa falam, ficaremos com a resposta que a maioria delas daria: eu tenho x quilos, referindo-se a sua massa, ou peso, como dizem.

Também não adianta muito eu ficar aqui discutindo comigo mesmo, pois será bem difícil uma pessoa pedir um quilograma de carne no açougue.
Mas insisto no fato de que é muito estranho pedir um quilo de carne. O que é um quilo de carne? mil pedaços de carne? Não sei.

E prefiro não responder quantos quilos tenho.

Não tire Zero, ou tire o Zero?

Zero (0, ou valor nulo—sem representação nos números romanos) é o número que precede o inteiro positivo um, e todos os números estritamente positivos, e sucessor do um negativo (−1), e todos os números estritamente negativos. Ele é definido como a cardinalidade de um conjunto vazio, e o elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação.


Muita gente insiste, de forma equivocada, em dizer que o número zero é neutro. Na verdade ele é um número NULO, sendo elemento neutro apenas na adição.

Um número é elemento neutro de certa operação quando ele não altera o valor de qualquer que seja o outro número envolvido nessa operação. Por exemplo: a + 0 = 0 + a = a, ou seja, o número real a não foi alterado quando adicionado por zero e nem quando adicionado ao zero, então o número zero é elemento neutro da adição.

Mas isso não faz com que o número zero seja considerado um número neutro, afinal de contas, sequer existe um número que seja considerado neutro.

Devemos tomar bastante cuidado ao classificar o número zero.

• Para dizer se ele é par ou ímpar, por exemplo, basta verificar a definição de número par: Seja k um número inteiro, todo número da forma 2k é par. Como ZERO pode ser escrito nessa forma para k = 0, O número zero é par.

• E, quando se precisa classificá-lo em positivo ou negativo, aí a coisa complica. O zero é negativo e também é positivo. O que ele não é, é estritamete positivo e nem estritamente negativo, nesse caso podemos dizer que O número zero é nulo.

Portanto, podemos parar de inventar classificações para o número zero e dizer apenas que ele é nulo e par.

Assim, não será preciso tirar o zero e ninguém tirará zero.

2 + 2 = 5

Vamos provar que isso é verdade.

Começamos com a seguinte igualdade, que é verdadeira:


16 - 36 = 25 - 45

Somamos (81/4) nos dois lados, o que não altera a igualdade:



16 - 36 + (81/4) = 25 - 45 + (81/4)

Isso pode ser escrito da seguinte forma: (trinômio quadrado perfeito)

(4-(9/2))2 = (5-(9/2))2

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos:
4 - (9/2) = 5 - (9/2)
Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos:
4 = 5
Como 4 = 2 + 2 chegamos a seguinte conclusão:



2 + 2 = 5.

É evidente que temos um erro nessa demonstração.

E quem descobri-lo ganhará uma pipoca doce.

O quociente e a incógnita

"Às folhas tantas do livro de matemática,


um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base.

Uma figura ímpar olhos rombóides, boca trapezóide,

corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito.

"Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical.

"Eu sou a soma dos quadrados dos catetos,


mas pode me chamar de hipotenusa".

E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética,

corresponde a almas irmãs, primos entre-si.

E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz

numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas,

curvas, círculos e linhas senoidais.

Nos jardins da quarta dimensão,

escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas

e os exegetas do universo finito.

Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim,

resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar,

uma perpendicular.

Convidaram os padrinhos:

o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas para o futuro,

sonhando com uma felicicdade integral e diferencial.

E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos

e foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia.

Foi então que surgiu o máximo divisor comum,

frequentador de círculos concêntricos viciosos,

ofereceu-lhe,

a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum.

Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade.

Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema,

ele era a fração mais ordinária.

Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade

e tudo que era espúrio passou a ser moralidade,

como, aliás, em qualquer Sociedade ..."


Millôr Fernandes

Esse poema, ou trechos dele, já inspiraram questões de várias provas.
E é de fato uma obra de arte. Mas penso que o grande Millôr deveria ter apresentado a hipotenusa da forma correta, dizendo: 
"Eu sou a soma  dos quadrados das medidas dos catetos, mas pode me chamar de quadrado da medida da hipotenusa".
Pensando bem, ficaria totalmente sem sonoridade. Correto, mas sem o ar poético que o Millôr usou brilhantemente.
É, acho que é melhor eu continuar ensinando matemática e deixar a poesia para quem realmente conhece.

Ternos Pitagóricos

Hoje em dia são conhecidas algumas centenas de demonstrações do chamado Teorema de Pitágoras, segundo o qual, dado um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Embora já conhecido antes de Pitágoras, é bem possível contudo que se deva a ele, ou à sua escola, a primeira demonstração dessa relação fundamental da geometria métrica.
Mas, considerando o grau de preocupação dos pitagóricos no sentido de ligar os números naturais à geometria, era elementar que eles se preocupassem em determinar todos os triângulos retângulos de lados inteiros.Este problemas consiste em resolver, no conjuntos dos ternos ordenados de números naturais não nulos, a equação x (ao quadrado) = y (ao quadrado) + z (ao quadrado), cada um dos ternos que solucionam este problemas recebem o nome de ternos Pitagóricos.

Três ternos famosos:

cateto     cateto        hipotenusa

   3             4                  5     (Triângulo Pitagórico)

   5            12                13    (Triângulo de Platão)

   7            24                25

   8            15                17

Existem infinitos ternos pitagóricos e, para se conseguir um desses é só escolher um números ímpar maior que 1 para ser  a medida do primeiro cateto; elevá-lo ao quadrado, subtrair 1 e dividir o resultado por dois para se chegar à medida do segundo cateto e, para se obter a medida da hipotenusa, eleva-se o número ímpar escolhido inicialmente ao quadrado e, agora, soma-se 1 e divide-se o resultado por 2.

Obs. O terno em negrito não foi obtido da maneira descrita acima, mas também se enquadra ao teorema de Pitágoras.

Construções com régua e compasso- 9° ano.

Em geometria, uma construção com régua e compasso é o desenho geométrico de segmentos de reta ou ângulos usando apenas uma régua e um compasso idealizados ou seja:


A régua pode ser usada para construir um segmento tão longo quanto se queira que contenha dois pontos dados. Particularmente tal régua não é graduada, não podendo ser utilizada para medir;


O compasso pode ser usado para construir a circunferência de centro em um dado ponto A e que passa por um dado ponto B. Assim deve ter pernas tão compridas quanto precisamos.


As construções com régua e compasso são baseadas nos três primeiros postulados ("regras")  dos Elementos de Euclides por isso são também conhecidas por “construções euclidianas”, apesar dos termos “régua” e “compasso” não aparecerem nessa obra.

Alguns nomes de polígonos

A seguir teremos alguns nomes de polígonos, segundo o seu número de lados:

N° de lados                                      Nome


1                                                   Não existe
2                                                   Não existe



3                                                   Triângulo


4                                                  Quadrilátero


5                                                  Pentágono


6                                                  Hexágono


7                                                  Heptágono


8                                                 Octógono


9                                                 Eneágono


10                                                Decágono


11                                               Undecágono


12                                               Dodecágono

13                                               Tridecágono

14                                               Tetradecágono

15                                               Pentadecágono

16                                               Hexadecágono

17                                               Heptadecágono

18                                               Octodecágono

19                                               Eneadecágono

20                                               Icoságono

30                                               Triacontágono

40                                               Tetracontágono

50                                               Pentacontágono

60                                               Hexacontágono

70                                               Heptacontágono

80                                              Octocontágono

90                                               Eneacontágono

100                                             Hectágono

1 000                                          Quilógono

1 000 000                                   Megágono

1 000 000 000                            Gigágono

10^(10^100)                               Googólgono

É evidente que não é necessário decorar todos esses nomes, mas os que estão em negrito é bom saber.

Aprendendo Geometria II

Quando se chega no 3° ano do E.M., muitos alunos descobrem que o tempo é muito precioso e resolvem correr atrás dos seus vários objetivos, dentre os quais consta o desejo quase inalcansável de fazer todos os exercícios do TC. Eu não duvido que existam seres HUMANOS que consigam fazer isso, mas sei que é muito difícil administrar o tempo para realizar essa façanha.
Por isso, vou recomendar que os alunos do 2° E.M. comecem esse trabalho o quanto antes.
Como o TC do 2° é mais curto do que o do 3° e vocês ainda estão aprendendo alguns conceitos, uma boa dica é refazer alguns exercícios da aula, fazer todos os do TC e, se possível, tentar novas soluções para exercícios já feitos.
Lembrem-se que geometria só se aprende fazendo exercícios. E isso pode se tornar muito interessante quando começarem a tentar caminhos diferentes e até mesmo demonstrações de teoremas que são passados em aula.
Contem comigo para os esclarecimentos que necessitarem!

Aprendendo Geometria

Tenho observado que tanto na resolução de questões em sala de aula, como em provas e provinha, alguns alunos erram questões de geometria por fazerem suposições inadequadas, ou melhor, por supor "coisas" falsas.
É como eu tenho falado em aula: "Não podemos "achar" nada. Ou é, ou não é."
É claro que em algumas questões será necessário que se faça algumas construções auxiliares, ou algo assim, mas tudo precisa ter embasamento teórico. Não se deve acrescentar nada ao enunciado e nem "fingir" que não está esrito algo que está.
É importante que se faça desenhos com o mínimo de comprimisso com a realidade, senão fica mais difícil de perceber algumas coisa necessárias à resolução. Desenhar grande e com traços firmes ajuda. Evitar de colocar muitos dados dentro da figura também. O que não se deve fazer é desenhar segmentos paralelos sem que o enunciado tenha dito que são, triângulos específicos quando é dito um triângulo qualquer, etc.
A geoemtria pode se tornar bastante fácil e agradável se dominarmos os conceitos mais básicos e treinarmos bastante. E, além de tudo, fazer o máximos de exercícios possível sem que ninguém nos dê o caminho.
Entendam na sala de aula e aprendam em casa estudando com o lápis em ação.

TEOREMA DE "PITÁGORAS"

A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas.

Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²), onde c é a medida da hipotenusa, a e b são as medidas dos catetos,  já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º).

Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.

Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".

O metro

De 1789 a 1799, a França passou por um período de muitas mudanças políticas chamado Revolução Francesa. Durante esse período, em 1790, um decreto atribuiu à Academia de Ciências a tarefa de organizar um sistema de medidas melhor e estabelecer um padrão que pudesse ser universal. Foi assim que se criou o metro: ele foi concebido como a quadragésima milionésima parte do comprimento total de um certo meridiano terrestre (uma volta ao mundo, passando pelos pólos). Foram criados também o centímetro, o milímetro dentre outras subdivisões do metro.

O sistema métrico tornou-se obrigatório na França em 1° de janeiro de 1840. No Brasil, esse sistema passou a ser obrigatório em junho de 1862.

 Algumas divisões do metro
Yoctômetro Zeptômetro Attômetro Angstrom Femtômetro Picometro Nanometro Micrometro Milímetro Centímetro Decímetro Metro Decâmetro Hectômetro Quilômetro Megametro Gigametro Terametro Petametro Exametro Zettametro Yottametro

Figura: A barra de platina-irídio utilizada como prototipo do metro de 1889 a 1960

Matemática "Moderna"?

Esse é outro quadro da minha querida Filha!

A FÓRMULA É DE BHASKARA?

O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado, pois:

• Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase quatro mil anos atrás, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos coeficientes numéricos.

• Bhaskara que nasceu na Índia em 1114 e viveu até cerca de 1185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes")de seus trabalhos que tratam de aritmética e álgebra respectivamente , e contém numerosos problemas sobre equações lineares e quadráticas (resolvidas também como receitas em prosa), progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.

• Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação . Isso começou a ser feito a partir de François Viete, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.

Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2ºgrau. Mas, o fato é que o mais importante é compreender a grande utilidade que essa fórmula tem e aplicá-las de forma correta. Então, não importa o nome que se dá a ela.


Fontes:

Boyer, C.B. História da matemática. São Paulo, Edgar Blucher, 1974.

Eves, H. Introdução à história da matemática. São Paulo, Editora da Unicamp, 1995.

A matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de matemática, SBM, 1996

Resposta da charada geométrica

Perguntei: Qual  país cujo nome é um hexaedro regular feminino?
O hexaedro regular é mais conhecido com cubo cujo feminino é CUBA.
Parabéns aos que acertaram essa espetacular charada!
Logo teremos outra...

Música: Escala métrica - 8° ano

Põe o metrinho no meio
E o decímetro do lado
O centímetro já veio
Agora é milímetro

Eu ando pra direita
ando pra direita
ando pra direita
E mutiplico por 10
Hei!

Põe o metrinho no meio
E o decâmetro do lado
O hectômetro já veio
Agora é o quilômetro

Eu ando pra esquerda

ando pra esquerda
ando pra esquerda
E divido por 10
Hei!

Charada geométrica

Qual país é um hexaedro regular feminino?

Resposta na próxima semana.

Geometria Real?

Ptolomeu Philadelpho, rei do Egito, pediu a seu professor, o geômetra Euclides, que fizesse em seu favor algo para diminuir as dificuldades da demonstração científica, em verdade bastante complicada naqueles tempos. E Euclides lhe respondeu:
"Senhor, não há na geometria caminhos especiais para os reis".

Frutas em textura

Essa é uma das Obras de Arte que a minha amada filha faz.

Feita em uma tampa de caixa de sapato, papel higiênico, muitas cores e bastante criatividade!!!

Que orgulho dessa Filha!!!

Poema Geométrico I

                                          pingo pontos

ligo em linhas

livres pontas

sendo setas

sempre retas
incompletas
estiradas
qual estradas
só retas:
diretas...
só setas
sem metas...
Rosane Coelho

Geometria Divina I

      No primeiro livro da bíblía sagrada, Gênesis, mais precisamente no capítulo 6, versículo 15, Deus orienta Noé sobre as dimensões da arca:
      "E desta maneira a farás: de trezentos côvados o comprimento da arca, e de cinquenta côvados a largura, e de trinta côvados a sua altura."(Gen 6:15)
(No Egito antigo, o côvado era uma medida retirada da distância entre o cotovelo e as pontas dos dedos. Correspondia a dezoito polegadas, aproximadamente, 53 centímetros).
      Isso significa que a Arca de Noé tinha 159 metros de comprimento, 26,5 metros de largura e quase 16 metros de altura.
Aproximando-a para um paralelepípedo retorretângulo, o seu volume seria de 67 416 metros cúbicos que equivale a 67 416 000  litros.
      Só para uma simples comparação, o Titanic tinha  269 metros de comprimento, 28 metros de largura e  54 metros de altura.
Alguém poderia dizer agora: "Viu como o Titanic era maior?", mas não se esqueça que a Arca não afundou.

O valor do conhecimento

No livro "Introdução à história da matemática" de Howard Eves, consta uma curiosa história sobre o grande geômetra Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.),  que foi  professor,  matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana. A história conta que Euclides ensinava certo aluno que o indagou sobre a utilidade prática daquela matéria que estava lhe sendo ensinada. O professor Euclides ordenou a seu escravo que desse uma moeda a tal aluno para que tivesse algum ganho com o que estava aprendendo.
Nem sempre o que aprendemos terá uma utilidade prática, mas de certo tal conhecimento fará parte do nosso processo evolutivo cultural, o que já é muito para os que buscam o saber.

Começando...

Olá pessoal, estou começando esse blog para compartilhar ideias da matemática com meus amigos e queridos alunos!
Espero que eu tenha tempo para cuidar dele.
ajudem-me!!!