2 + 2 = 5

Vamos provar que isso é verdade.

Começamos com a seguinte igualdade, que é verdadeira:


16 - 36 = 25 - 45

Somamos (81/4) nos dois lados, o que não altera a igualdade:



16 - 36 + (81/4) = 25 - 45 + (81/4)

Isso pode ser escrito da seguinte forma: (trinômio quadrado perfeito)

(4-(9/2))2 = (5-(9/2))2

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos:
4 - (9/2) = 5 - (9/2)
Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos:
4 = 5
Como 4 = 2 + 2 chegamos a seguinte conclusão:



2 + 2 = 5.

É evidente que temos um erro nessa demonstração.

E quem descobri-lo ganhará uma pipoca doce.

O quociente e a incógnita

"Às folhas tantas do livro de matemática,


um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base.

Uma figura ímpar olhos rombóides, boca trapezóide,

corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito.

"Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical.

"Eu sou a soma dos quadrados dos catetos,


mas pode me chamar de hipotenusa".

E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética,

corresponde a almas irmãs, primos entre-si.

E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz

numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas,

curvas, círculos e linhas senoidais.

Nos jardins da quarta dimensão,

escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas

e os exegetas do universo finito.

Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim,

resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar,

uma perpendicular.

Convidaram os padrinhos:

o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas para o futuro,

sonhando com uma felicicdade integral e diferencial.

E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos

e foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia.

Foi então que surgiu o máximo divisor comum,

frequentador de círculos concêntricos viciosos,

ofereceu-lhe,

a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum.

Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade.

Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema,

ele era a fração mais ordinária.

Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade

e tudo que era espúrio passou a ser moralidade,

como, aliás, em qualquer Sociedade ..."


Millôr Fernandes

Esse poema, ou trechos dele, já inspiraram questões de várias provas.
E é de fato uma obra de arte. Mas penso que o grande Millôr deveria ter apresentado a hipotenusa da forma correta, dizendo: 
"Eu sou a soma  dos quadrados das medidas dos catetos, mas pode me chamar de quadrado da medida da hipotenusa".
Pensando bem, ficaria totalmente sem sonoridade. Correto, mas sem o ar poético que o Millôr usou brilhantemente.
É, acho que é melhor eu continuar ensinando matemática e deixar a poesia para quem realmente conhece.

Ternos Pitagóricos

Hoje em dia são conhecidas algumas centenas de demonstrações do chamado Teorema de Pitágoras, segundo o qual, dado um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Embora já conhecido antes de Pitágoras, é bem possível contudo que se deva a ele, ou à sua escola, a primeira demonstração dessa relação fundamental da geometria métrica.
Mas, considerando o grau de preocupação dos pitagóricos no sentido de ligar os números naturais à geometria, era elementar que eles se preocupassem em determinar todos os triângulos retângulos de lados inteiros.Este problemas consiste em resolver, no conjuntos dos ternos ordenados de números naturais não nulos, a equação x (ao quadrado) = y (ao quadrado) + z (ao quadrado), cada um dos ternos que solucionam este problemas recebem o nome de ternos Pitagóricos.

Três ternos famosos:

cateto     cateto        hipotenusa

   3             4                  5     (Triângulo Pitagórico)

   5            12                13    (Triângulo de Platão)

   7            24                25

   8            15                17

Existem infinitos ternos pitagóricos e, para se conseguir um desses é só escolher um números ímpar maior que 1 para ser  a medida do primeiro cateto; elevá-lo ao quadrado, subtrair 1 e dividir o resultado por dois para se chegar à medida do segundo cateto e, para se obter a medida da hipotenusa, eleva-se o número ímpar escolhido inicialmente ao quadrado e, agora, soma-se 1 e divide-se o resultado por 2.

Obs. O terno em negrito não foi obtido da maneira descrita acima, mas também se enquadra ao teorema de Pitágoras.