Ternos Pitagóricos

Hoje em dia são conhecidas algumas centenas de demonstrações do chamado Teorema de Pitágoras, segundo o qual, dado um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Embora já conhecido antes de Pitágoras, é bem possível contudo que se deva a ele, ou à sua escola, a primeira demonstração dessa relação fundamental da geometria métrica.
Mas, considerando o grau de preocupação dos pitagóricos no sentido de ligar os números naturais à geometria, era elementar que eles se preocupassem em determinar todos os triângulos retângulos de lados inteiros.Este problemas consiste em resolver, no conjuntos dos ternos ordenados de números naturais não nulos, a equação x (ao quadrado) = y (ao quadrado) + z (ao quadrado), cada um dos ternos que solucionam este problemas recebem o nome de ternos Pitagóricos.

Três ternos famosos:

cateto     cateto        hipotenusa

   3             4                  5     (Triângulo Pitagórico)

   5            12                13    (Triângulo de Platão)

   7            24                25

   8            15                17

Existem infinitos ternos pitagóricos e, para se conseguir um desses é só escolher um números ímpar maior que 1 para ser  a medida do primeiro cateto; elevá-lo ao quadrado, subtrair 1 e dividir o resultado por dois para se chegar à medida do segundo cateto e, para se obter a medida da hipotenusa, eleva-se o número ímpar escolhido inicialmente ao quadrado e, agora, soma-se 1 e divide-se o resultado por 2.

Obs. O terno em negrito não foi obtido da maneira descrita acima, mas também se enquadra ao teorema de Pitágoras.